Relazione cemento armato: TRAVE

La trave presa in considerazione è schematizzabile dal punto di vista statico come una trave continua su 4 appoggi con interassi di 3,8 m. Di seguito sono riportati i carichi coinvolti nell’analisi strutturale della suddetta trave.

Analisi dei carichi

Peso proprio		3,8 kN/m
Peso solaio	3,3 kN/m2	12,54 kN/m
Peso tramezze	2 kN/m2	7.6 kN/m
Peso pavimentazione	0,27 kN/m2	1,02 kN/m
Peso sottofondo	0,96 kN/m2	3,65 kN/m
Sovraccarico accidentale	2 kN/m2	7,6 kN/m

Coefficienti parziali per le azione o per le verifiche agli S.L.U.

	Sfavorevoli alla sicurezza	Favorevoli alla sicurezza
Carichi permanenti	1,3	1
Carichi permanenti non strutturali	1,5	0
Carichi variabili	1,5	0

Si applicano i coefficienti favorevoli e sfavorevoli alla sicurezza

	Sfavorevoli alla sicurezza	Favorevoli alla sicurezza
Peso proprio	3,8 x 1,3 = 4,9 kN/m	3,8 kN/m
Peso solaio	12,54 x 1,3 = 16,3 kN/m	12,54 kN/m
Peso tramezze	7,6 x 1,5 = 11,4 kN/m	0
Peso pavimentazione	1,02 x 1,5 = 1,53 kN/m	0
Peso sottofondo	3,65 x 1,5 = 5,47 kN/m	0
Sovraccarico accidentale	7,6 x 1,5 = 11,4 kN/m	0
Totale	51 kN/m	16,34 kN/m

SLU
Combinazione 1
Tutte le campate caricate con carico sfavorevole

Combinazione 2 -Scacchiera 1

Combinazione 3 -Scacchiera 2

Combinazione 4 -Scacchiera 3

Combinazione 5 -Scacchiera 4

Combinazione 6 -Scacchiera 5

Inviluppo
Dallo studio delle soluzioni ottenute possiamo sviluppare l'inviluppo dei diagrammi:

Per la progettazione consideriamo una trave a coltello con sezione rettangolare di base 'b' 300 mm e di altezza 'h' 500 mm. Per il calcolo delle armature minime necessarie consideriamo i momenti massimi positivi e negativi ottenuti dalle combinazioni di carico.

Med+ = 140,1 kNm
Med- = 138,8 kNm

Predimensionamento dell'armatura resistente a momento positivo

$A_{s, min} = \frac{M_{ed}}{0,9 \cdot d \cdot f_{yk}} = 864 mm^2$

Predimensionamento dell'armatura resistente a momento negativo

$A_{s, min} = \frac{M_{ed}}{0,9 \cdot d \cdot f_{yk}} = 856 mm^2$

Dai risultati ottenuti risulta che la soluzione migliore sia utilizzare 6 ɸ 14 che hanno un'area di 924 mm2.

SEZIONE IN CAMPATA

SLU
Verifica di resistenza a flessione
y2bσcd − y (As fyd−A'sEsεce) − 0,8cA'sEsεce
y 2⋅300⋅14,17 − y ( 924⋅391,3 − 308⋅210000⋅0,0035 )− 0,8⋅40⋅308⋅210000⋅0,035

y = 60,13 mm

Il valore risulta inferiore a 1,71c = 68,4 mm, ciò significa che l'armatura compressa raggiunge lo snervamento.

$\sigma_s' = Es \cdot \varepsilon_{cu} \frac{y - 0,8 c}{y} = 344 MPa$

La risultante in compressione è suddivisa nelle due componenti:
C1= σcd by = 256 kN
C2= σ's As = 317 kN

$dc = \frac{C_1 \cdot 0,5 \cdot y + C_2 \cdot c}{C1 + C2} =22 mm$

MRd =Td*=(C1+C2)(d-dc)= 22106 Nmm=251kNm

Ricordando:
Med = 140,1 kN

$\frac{M_{ed}}{M_{rd}} = \frac{140,1}{251}\leq 1 \Rightarrow Verificata$

Verifica di resistenza a Taglio
Si procede con la progettazione e la verifica delle armature resistenti a taglio considerando come sollecitazione il massimo taglio ottenuto con le combinazioni di carico sopra riportate. Supponiamo come armature a taglio le staffe con un angolo α=90°.

Ved = 163,7 kN

$t_{sd} = \frac{V_{ed}}{b\cdot d \cdot f_{cd}} = \frac{163,7 \cdot 10^3}{300 \cdot 0,9 \cdot 460 \cdot 14,17} = 0,093$

Quindi si passa al calcolo della resistenza massima del calcestruzzo imponendo θ = 45°

$t_{Rcd,max}= \alpha_c \cdot u \cdot \frac{cotg \theta }{1 + cotg \teta}=0,25$

Quindi si passa al calcolo della resistenza minima del calcestruzzo imponendo θ = 21,81°

$t_{Rcd,min}= \alpha_c \cdot u \cdot \frac{cotg \theta }{1 + cotg \teta}=0,172$

Risulta che tsd è minore del taglio minimo resistente dovuto al calcestruzzo, quindi saranno le armature che raggiungeranno per prime la crisi.

Calcolo dell'armatura minima necessaria a resistere al taglio sollecitante.

θ = 21,81°

$t_{Sd} = t_{Rsd} = \omega_{sw} = \frac{t_{sd}}{cotg \theta} = 0,037$

Considerando che:

$\omega_{sw} = \frac{A_{sw} \cdot f_{yd} } {b \cdot s \cdot f_{cd}}$

Imponendo di usare staffe ɸ 8 a due bracci con Asw = 100 mm2 si ottiene:

$s = \frac {A_{sw} \cdot f_{yd}}{b \cdot s \cdot \omega_{sw}} = 249 mm$

Ai fini della sicurezza le staffe saranno disposte con un passo s = 200 mm

$V_{Rsd}=\frac{0,9 \cdot A_sw \cdot f_yd}{s}\cdot cotg \teta = 440 kN$

$\frac{V_sd}{V_{Rsd}} \leq 1 \Rightarrow Verificata$

SLE -

Combinazioni di carico

Combinazione caratteristica rara
q = PP+Ps+Ppav+Psot+Pt+SA = 36,21 kN/m

Combinazione frequente
q = PP+Ps+Ppav+Psot+Pt+0,5 SA = 32,41 kN/m

Combinazione quasi permanente
PP+Ps+Ppav+Psot+Pt+0,3 SA = 30,89 kN/m

Verifica di resistenza a flessione
Con riferimento alla sezione in campata si determina la posizione del baricentro supponendo che il momento statico riferito all’asse neutro sia nullo.

Sn = 0

$\frac{b \cdot x^2}{2}+n \cdot A_s' \cdot (x-c) - n \cdot A_s \cdot (d-x)$

dove risulta:

x = 156 mm

$J_n = \frac{b \cdot x^3}{3}+n \cdot A_s' \cdot (x-c)^2 - n \cdot A_s \cdot (d-x)^2= 1'343'117'885 mm^4$

Secondo le norme si eseguono le verifiche secondo due casi di combinazione di carico:

Caratteristica rara

$\sigma_c = \frac{M_{ed} \cdot x}{J_n}=11,9 N/mm^2 \leq 0,6 f_{ck}$

$\sigma_s = n \cdot \frac{d- x}{x}= \cdot \sigma_c = 347 N/mm^2 \leq 0,8 f_{yk}$

Caratteristica quasi permanente

$\sigma_c = \frac{M_{ed} \cdot x}{J_n}=9,6 N/mm^2 \leq 0,6 f_{ck}$

Risulta verificata

$\sigma_s = n \cdot \frac{d- x}{x}= \cdot \sigma_c = 280 N/mm^2 \leq 0,8 f_{yk}$

Risulta verificata

Verifica a fessurazione
Secondo quanto riportato nella normativa si procede con la verifica indiretta per l’apertura delle fessure in condizioni ambientali ordinarie. Tale ipotesi implica l’analisi delle combinazioni SLE frequente e quasi permanente.

Combinazione quasi permanente

$\sigma_c = \frac{M_{ed}\cdot x }{J_n} = 9,3 N/mm^2$

$\sigma_c = n \cdot \frac{d- x}{x} \cdot \sigma_c = 272 N/mm^2$

Per sicurezza si impone una tensione delle armature pari a σs = 280 N/mm2. Quindi la verifica indiretta impone:

diametro delle barre pari a 16 mm, sono stati utilizzati dei ɸ 14.
distanza tra le barre di 150 mm, quelle in esame sono ad una distanza minore

Verifica a deformabilità
Per essere verificata

$\lambda \leq K \cdot \left ( 11 + \frac{0,015 \cdot f_{ck}}{\rho + \rho'} \right ) \cdot \left ( \frac{500 \cdot A_{sedd}}{f_{yk} \cdot A_{scalc}} \right )$

Dove:
fck = resistenza caratteristica del calcestruzzo = 20 MPa
fyk = resistenza caratteristica dell’acciaio = 450 MPa
ρ = rapporto tra area armatura in trazione e area totale di cls = 6,1 10-3
ρ’ = rapporto tra area armatura compressa e area totale di cls = 2 10-3
Aseff = area armatura in trazione presente nella sezione = 924 mm2
Ascalc = area armatura minima di progetto = 864 mm2
K = coeff. Correttivo che dipende dallo schema strutturale =1,5
λ = snellezza della sezione = l/h

$\lambda \leq K \cdot \left ( 11 + \frac{0,015 \cdot f_{ck}}{\rho + \rho'} \right ) \cdot \left ( \frac{500 \cdot A_{sedd}}{f_{yk} \cdot A_{scalc}} \right )=85$

λ = 11 ≤ K -> Verificata

Sezione in prossimità degli appoggi

SLU

Verifica di resistenza a flessione

La sezione risulta ribaltata, quindi, pur conservando uguali i valori di x ed y questi vanno contati a partire dal lembo inferiore.
y2bσcd−y (As fyd−A'sEsεce)-0,8cA'sEsεce
y 2⋅300⋅14,17 − y ( 924⋅391,3 − 308⋅210000⋅0,0035 )− 0,8⋅40⋅308⋅210000⋅0,035

y = 60,13 mm

Il valore risulta inferiore a 1,71c = 68,4 mm, ciò significa che l'armatura compressa raggiunge lo snervamento.

$\sigma_s' = E_s \cdot \varepsilon _{cu} \cdot \frac{y - 0,8c}{y}=344 MPa$

La risultante in compressione è suddivisa nelle due componenti:
C1= σcd by = 256 kN
C2= σ's As = 317 kN

$dc = \frac{C_1 \cdot 0,5 \cdot y + C_2 \cdot c}{C1 + C2}=22 mm$

MRd =Td*=(C1+C2)(d-dc)= 22106 Nmm=251kNm

Ricordando:
Med = 138,8 kN

$\frac{M_{ed}}{M_{rd}}=\frac{138,8}{251}\leq 1 \Rightarrow Verificata$

SLE
Verifica di resistenza a flessione
Con riferimento alla sezione in campata si determina la posizione del baricentro supponendo che il momento statico riferito all’asse neutro sia nullo.

Sn = 0

$\frac{b \cdot x^2}{2}+n \cdot A_s' \cdot (x-c) - n \cdot A_s \cdot (d-x)$

dove risulta: x = 156 mm

$J_n = \frac{b \cdot x^3}{3}+ n \cdot A_s' \cdot (x-c)^2 + n \cdot A_s \cdot (d-x)^2 = 1'343'117'885 mm^4$

Secondo le norme si eseguono le verifiche secondo due casi di combinazione di carico:

Caratteristica rara

$\sigma_c = \frac{M_{ed} \cdot x}{J_n}=10,2 N/mm^2 \leq 0,6 f_{ck}$

$\sigma_s = n \cdot \frac{ d-x}{x} \cdot \sigma_c = 298 N/mm^2 \leq 0,8 f_{yk}$

Caratteristica quasi permanente

$\sigma_c = \frac{M_{ed} \cdot x}{J_n}=8,7 N/mm^2 \leq 0,6 f_{ck} \Rightarrow Verificata$

$\sigma_s = n \cdot \frac{ d-x}{x} \cdot \sigma_c = 254 N/mm^2 \leq 0,8 f_{yk} \Rightarrow Verificata$

$\sigma_c=\frac{M_{ed}\cdot x}{J_n}=8,7 N/mm^2$

$\sigma_s = n \cdot \frac{ d-x}{x} \cdot \sigma_c = 254 N/mm^2$

Per sicurezza si impone una tensione delle armature pari a σs = 280 N/mm2. Quindi la verifica indiretta impone:

diametro delle barre pari a 16 mm, sono stati utilizzati dei ɸ 14.
distanza tra le barre di 150 mm, quelle in esame sono ad una distanza minore

Verifica a deformabilità
Per essere verificata:

$\lambda \leq K \cdot \left ( 11+\frac{0,015 \cdot f_{ck}}{\rho + \rho'} \right ) \cdot \left ( \frac{500 \cdot A_{seff}}{f_{yk} \cdot A_{scalc}}\right )$

Dove
fck = resistenza caratteristica del calcestruzzo = 20 MPa

fyk = resistenza caratteristica dell’acciaio = 450 MPa
ρ = rapporto tra area armatura in trazione e area totale di cls = 6,1 10-3
ρ’ = rapporto tra area armatura compressa e area totale di cls = 2 10-3
Aseff = area armatura in trazione presente nella sezione = 924 mm2
Ascalc = area armatura minima di progetto = 856 mm2
K = coeff. Correttivo che dipende dallo schema strutturale =1,5
λ = snellezza della sezione = l/h

$\lambda \leq K \cdot \left ( 11+\frac{0,015 \cdot f_{ck}}{\rho + \rho'} \right ) \cdot \left ( \frac{500 \cdot A_{seff}}{f_{yk} \cdot A_{scalc}}\right ) =85$

λ = 11 ≤ K

VERIFICATA

Pagine

TRAVE

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